PRELUDIUM 20

08.02.2023 - 11:58

Tytuł: Analiza teoretyczno-numeryczno-eksperymentalna dynamiki nieliniowej wahadeł poddanych działaniu niestacjonarnego pola magnetycznego

Kierownik grantu: mgr. inż. Krystian Polczyński

Opiekun naukowy: prof. dr hab inż. Jan Awrejcewicz

Nr decyzji: 2021/41/N/ST8/01019

Okres realizacji:2022-01-18 – 2024-01-17

Przyznane środki: 99 052 PLN

Streszczenie: https://projekty.ncn.gov.pl/opisy/515938-pl.pdf

Plan badań:

Opracowanie modeli matematycznych badanych układów w odniesieniu do rozważanych problemów.
Modyfikacja stanowiska doświadczalnego, dostosowanie go do zamierzonych badań.
Identyfikacja parametrów stanowisk doświadczalnych.
Numeryczne badania dynamiki analizowanych układów.
Eksperymentalne badania dynamiki analizowanych układów.
Weryfikacja wyników numerycznych z eksperymentalnymi.

Podsumowanie grantu:

Najważniejsze osiągnięcia projektu

Opracowanie empirycznego i teoretycznego modelu momentu magnetycznego działającego na wał wahadła magnetycznego będącego wynikiem oddziaływania pól magnetycznych magnesu stałego i cewki elektrycznej zasilanej prądem o zadanym przebiegu.
Opracowanie modelu matematycznego dla układu dwóch sprzężonych wahadeł magnetycznych, który wykorzystuje zmienne związane z energią i jej transferem pomiędzy nimi.
Udowodnienie możliwości sterowania przepływem energii pomiędzy sprzężonymi wahadłami magnetycznymi przy pomocy odpowiedniego zmieniania pól magnetycznych cewek.
Opracowanie dwóch strategii sterowania przepływem energii: otwartej i zamkniętej.
Potwierdzenie eksperymentalne poprawności działania obu strategii sterowania.
Dokładne zbadanie wpływu oddziaływania magnetycznego na energie potencjalną oraz punkty równowagi układów składających się z wahadeł magnetycznych.
Uzyskanie przez kierownika projektu stopnia naukowego doktora nauk inżynieryjno-technicznych w dyscyplinie inżynieria mechaniczna.
Opublikowanie na bazie przeprowadzonych badań dwóch artykułów naukowych w czasopismach o wysokim wskaźniku wpływu (impact facotr) oraz liczbie punktów ministerialnych.

Krótki opis uzyskanych wyników

W projekcie przedstawiono modelowanie matematyczne oraz badania symulacyjne i eksperymentalne dynamiki dwóch układów mechatronicznych, których elementem bazowym było wahadło magnetyczne, tj. wahadło z zamocowanym na końcu magnesem. Pierwszy układ składał się z pojedynczego wahadła magnetycznego umieszczonego w niestacjonarnym polu magnetycznym, generowanym przez cewkę elektryczną znajdują się pod nim. Drugi układ był rozszerzeniem pierwszego i składał się z dwóch takich samych wahadeł magnetycznych, których wały sprzężone były ze sobą elementem podatnym. Ze względu na dwa układy o rożnych stopniach swobody, projekt podzielono na dwie części. Proces modelowania matematycznego dotyczył głównie opracowania modeli oporów ruchu i oddziaływania magnetycznego pomiędzy magnesem a cewką. Zarówno w układzie o jednym jak i o dwóch stopniach swobody stosowano te same modele oporów ruchu oraz oddziaływania magnetycznego. W oparciu o eksperyment wykazano, że uzasadnionym będzie uwzględnienie w równaniach ruchu występowania oporów statycznych i/lub coulombowskich. Empiryczny model oddziaływania magnetycznego pomiędzy cewką a magnesem, sprowadzony został do momentu sił magnetycznych działającego na wahadło. Bazuje on na przekształconej funkcji Gaussa, natomiast drugi model oparty jest na teoretycznym uproszczonym oddziaływaniu dipoli magnetycznych (model Gilberta). Oba z wymienionych modeli zostały sprawdzone pod względem zgodności wyników symulacyjnych dynamiki układu wahadła magnetycznego z eksperymentem. Za ważne cechy charakterystyczne momentu magnetycznego, które miały wpływ na dynamikę badanych układów, uznano jego silną i nieliniową zależność od położenia magnesu wahadła względem cewki oraz zależność od sygnału prądowego. Im dalej magnes znajdował się od cewki, tym wpływ jej pola magnetycznego na wahadło był mniejszy. Dzięki tej cesze przyjęto, że istnieje pewna strefa wychyleń kątowych, wewnątrz której wahadło ulega działaniu pola magnetycznego cewki, a po opuszczeniu której zmiany tego pola będą miały znikomy wpływ na jego dynamikę.

Dalsze badania nad układem dwóch sprzężonych wahadeł magnetycznych skupiły się na możliwości sterowania przepływem energii między nimi, na skutek odpowiedniego generowania pól magnetycznych ich cewek. Oprócz typowego modelu matematycznego układu zawierającego klasyczne zmienne stanu, opracowano model zawierający zmienne odnoszące się do energii i charakteryzujące proces jej transferu. Zaproponowano dwie metody sterowania przepływem energii: otwartą bez sprzężenia zwrotnego i zamkniętą ze sprzężeniem zwrotnym. Obie z nich oparto na obserwacjach, że w przypadku drgań w antyfazie energia przepływa z wahadła poddanego odpychającemu polu magnetycznemu do wahadła znajdującego się w przyciągającym polu. Natomiast podczas drgań w fazie przepływ energii jest odwrotny. Na podstawie obserwacji oraz analizy numerycznej dynamiki układu wykazano, że podczas sterowania bez sprężenia zwrotnego konieczne jest znanie a priori typu drgań układu (w fazie, w antyfazie) oraz czasu po jakim energia układu zostanie całkowicie rozproszona. Natomiast w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym konieczne jest tylko określenie przesunięcia fazowego między wahadłami na podstawie pomiaru ich położeń. Opierając się na przeprowadzonych badaniach numerycznych oraz eksperymentalnych można wnioskować, że przy odpowiednim sterowaniu pól magnetycznych cewek, a z mechanicznego punktu widzenia nieliniową sztywnością poszczególnych wahadeł, możliwe jest zapewnienie kierunkowego transferu energii między sprzężonymi oscylatorami. Wyniki te opublikowano w pracy [1].

W projekcie dokładnym badaniom poddano również dynamikę nieliniową pojedynczego wahadła magnetycznego wymuszanego oddziaływaniem magnes-cewka, w którym cewka zasilana była prądem o przebiegu sinusoidalnym oraz prostokątnym. Przestudiowano analitycznie i numerycznie wpływ polaryzacji i wartości prądu cewki na zmiany dolnego położenia równowagi wahadła magnetycznego, a także zbadano stabilność nowych położeń równowagi. Wykorzystując przybliżone rozwiązania analityczne wykazano, że dla ujemnych i zerowych wartości prądu cewki, czyli odpowiednio przyciąganiu się i braku oddziaływania pary magnes-cewka, zaobserwować można jedno położenie równowagi. Wynika to z istnienia tylko jednego rzeczywistego pierwiastka zlinearyzowanego równania dynamiki, przy założeniu wyzerowania członów zawierających prędkości i przyspieszenie wahadła. Położenie to odpowiada zerowemu katowi wychylenia wahadła magnetycznego. Dla dodatnich prądów cewki, czyli gdy para magnes-cewka odpycha się, układ charakteryzuje się trzema położeniami równowagi, tzn. istnieją trzy rzeczywiste pierwiastki wcześniej wspomnianego uproszczonego równania dynamicznego. Pierwiastki te odpowiadają położeniu, gdy kąt wychylenia wahadła jest zerowy oraz dwóm symetrycznie położonym względem niego położeniom równowagi. Ponadto da ujemnych prądów cewki dolne położenie równowagi jest położeniem stabilnym, w przeciwieństwie do przypadku dodatnich prądów, wtedy zmienia się ono na niestabilne położenie, a dwa symetrycznie rozmieszone położenia równowagi stają się stabilne. Polaryzacja prądu cewki definiuje również rodzaj potencjału układu, tj. dla ujemnych prądów jest on monostabilny, a dla dodatnich bistabilny. W toku analizy teoretycznej można wnioskować, że zlinearyzowane wahadło magnetyczne jest przykładem układu opisanego równaniem Hill’a, a dokładnie klasycznym równaniem Mathieu z tłumieniem. Dlatego też możliwe jest poszukiwanie przybliżonych rozwiązań okresowych takiego wahadła, co jest szczególnie ważne z punktu widzenia analizy wpływu parametrów układu, w tym parametrów oddziaływania magnetycznego, na ruch okresowy oraz zakresy jego występowania. Ponadto badane wahadło magnetyczne wykazało się nie tylko ciekawą dynamiką okresową (odnotowano rozwiązania 1-, 2-, 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-, 9- i 10-okresowe), ale także dynamika nieokresową, w której obserwowano zachowania chaotyczne. Wyniki badań nad dynamiką wahadła magnetycznego prowadzone dla obu modeli oddziaływania magnetycznego (teoretycznego i empirycznego) oraz dla obu rodzajów prądu cewki (sinusoidalnego i prostokątnego) były jakościowo i ilościowo podobne do danych eksperymentalnych. Rezultaty tych badań opublikowano w pracy [2].

[1] Pilipchuk, V. N., Polczyński, K., Bednarek, M., & Awrejcewicz, J. (2022). Guidance of the resonance energy flow in the mechanism of coupled magnetic pendulums. Mechanism and Machine Theory, 176, 105019.

[2] Nana, B., Polczyński, K., Woafo, P., Awrejcewicz, J., & Wasilewski, G. (2024). Analysis of the nonlinear dynamics of a single pendulum driven by a magnetic field using the magnetic charges interaction model and the experimentally fitted interaction model. Mechanical Systems and Signal Processing, 209, 111114.

Które cele założone we wniosku o finansowanie projektu udało się zrealizować,
a których nie i dlaczego; czy i jakie dodatkowe cele osiągnięto?

We wniosku o finansowanie projektu założono kilka celów zależnych od badanego układu złożonego z wahadeł magnetycznych. Znaczącą większość z założonych celów udało się z powodzeniem zrealizować, do celów tych należało:

Opracowanie modeli matematycznych pojedynczego wahadła magnetycznego oraz układu dwóch sprzężonych wahadeł magnetycznych, które odwzorowują w wysokim stopniu dynamikę rzeczywistego stanowiska badawczego.
Zmodyfikowanie stanowiska badawczego układu w zakresie zasilania cewek elektrycznych, tak aby możliwe było zasilanie ich sygnałem prądowym o zadanym przebiegu, a także zbierania danych pomiarowych, w czym pomogła zakupiona z funduszy projektu karta NI USB oraz notebook. Nie udało się zmodyfikować układu łożyskowania wału wahadła, tak aby znacząco zmniejszyć opory ruchu mające charakter tłumienia coulombowskiego. Nie udało się również opracowanie idealnego źródła prądowego zasilającego cewki i pozwalającego na w pełni zadowalającą zmianę kierunku przepływu prądu. W chwili zmiany kierunku przepływu prądu w cewce, układ zasilający wykorzystujący przekaźniki generował zakłócenie mające wpływ na dynamikę wrażliwego, nieliniowego układ wahadeł magnetycznych. W wyniku tego niektóre eksperymenty były ograniczone możliwościami układu zasilania cewek.
Wykonanie identyfikacji parametrów układów oraz przeprowadzenie analizy ich dynamiki przy wykorzystaniu klasycznych metod takich jak: wykresy czasowe, wykresy bifurkacyjne, wykresy fazowe, przekroje Poincarégo, spektra Fouriera, wykładniki Lapunowa. Prowadzone obliczenia numeryczne i analityczne były wykonane przy pomocy wysokowydajnego komputera oraz oprogramowania Wolfram Mathematica zakupionych z funduszy projektu.
Opracowanie modeli matematycznych oraz programów komputerowych w środowisku LabView kontrolujących sygnały prądowe cewek i pozwalających na sterowanie przepływem energii pomiędzy sprzężonymi torsyjnie wahadłami magnetycznymi w czasie rzeczywistym. Program sterujący oparty na LabView, karta NI USB oraz notebook miały swoje ograniczenia wynikające z pracy w czasie rzeczywistym, co nie pozwalało na przeprowadzenie niektórych eksperymentów.
Opublikowanie wyników prowadzonych badań w dwóch artykułach naukowych (w projekcie założono liczbę artykułów równą 2) wydanych przez czasopisma o sumarycznym wskaźniku wpływu IF=13.6 (w projekcie zakładano, że wyniesie on przynajmniej 4) i sumarycznej wartości punktów ministerialnych równej 400. Wyniki badań wykorzystano również do ukończenia i obronienia rozprawy doktorskiej przez kierownika projektu, co także stawiano jako cel projektu do zrealizowania. Wyniki badań opracowanych w ramach przedmiotowego projektu prezentowano podczas publicznej obrony pracy doktorskiej kierownika projektu, a także na seminariach naukowych organizowanych przez jego Alma Mater oraz naukowych konferencjach międzynarodowych DSTA’21 oraz ICNDA’24.
Nawiązanie współpracy z zagranicznymi naukowcami, takimi jak prof. Valery N. Pilipchuk (Stany Zjednoczone Ameryki), prof. Paul Woafo (Kamerun) i dr Bonaventure Nana (Kamerun) posiadających znaczącą renomę w międzynarodowym środowisku naukowym związanym z dynamika nieliniową układów mechanicznych. Współpraca z zagranicznymi naukowcami była dodatkowym celem ujętym w projekcie.

Aktualny i oczekiwany wpływ projektu na rozwój dyscypliny naukowej oraz rozwój innych dyscyplin

Wydawać by się mogło, że dynamika wahadeł, które towarzyszą nam od wieków została przez te wszystkie lata skrupulatnie zbadana przez naukowców i niczym nowym nas nie zaskoczy. Jednak, w przedziale lat 2010-2021 baza Scopus odnotowała, aż 17 066 artykułów, dla których słowem kluczowym było „wahadło” (ang. pendulum). Liczba ta pokazuje, że pomimo powszechności wahadeł wciąż są one obiektem badań podstawowych. Badania te skupiają się głównie na nieliniowych aspektach dynamiki układów o jednym i wielu stopniach swobody, złożonych ze sprzężonych wahadeł i poddanych różnym rodzajom wymuszeń. Mniejszą popularnością wśród naukowców cieszy się „wahadło magnetyczne” (ang. magnetic pendulum), które w bazie Scopus ma 51 prac, a aż 33 opublikowane zostały w latach 2010-2022. Trzeba przyznać, że w dzisiejszym świecie nauki i przy obecnych możliwościach prowadzenia badań naukowych, liczba 51 prac nie jest zadowalająca. W naukach inżynieryjno-technicznych wahadła magnetyczne obecnie dobrze odnajdują się w prężnie rozwĳającej się gałęzi nauki, jaką jest odzyskiwanie energii. Energia zgromadzona w ruchu wahadła będąca wynikiem drgań podłoża, może być przekształcana poprzez indukcję elektromagnetyczną lub piezoelektryki na energię elektryczną gromadzoną w akumulatorach i gotową do ponownego użycia. Ponadto układy wahadeł magnetycznych ze względu na możliwość łatwej zmiany parametrów oddziaływania magnetycznego wykorzystywane są jako tłumiki niepożądanych drgań mechanicznych np. w systemach gromadzących energię opartych na kołach zamachowych. Badania dynamiki wahadeł magnetycznych mogą również stanowić źródło inspiracji dla nowych modeli matematycznych i symulacyjnych sprzęgieł elektromagnetycznych, czy silników elektrycznych. Pakiety sprzężonych wahadeł magnetycznych wykorzystywane są także w radiotechnice do budowy nowoczesnych anten pracujących na ultra niskich częstotliwościach.

Badania przeprowadzone dla pojedynczego wahadła magnetycznego mogą stanowić podstawy do nowego sposobu modelowania silników krokowych. Mogą one również stanowić podstawę do optymalizacji poboru energii układów działających na podobnej zasadzie poprzez odpowiedni dobór wielkości parametrów sygnału prądowego cewki i przy utrzymaniu założonego ruch układu. Jako przykłady takich układów można wskazać wahadło Foucaulta oraz zabawkę Maneki-neko. Wahadło Foucaulta wykorzystywane jest w celach rekreacyjno-edukacyjnych w centrach nauki i pobudzane jest do ruchu poprzez oddziaływanie magnetyczne cewki i magnesu. Natomiast zabawka Maneki-neko (jap. kot zapraszający, wabiący) wykorzystywana jest w celach reklamowych oraz symbolicznych, część ruchoma tej zabawki (łapka) działa na zasadzie badanego przeze mnie wahadła magnetycznego. Biorąc pod uwagę liczbę rocznie produkowanych zabawek tego typu optymalizacja poboru ich energii może prowadzić do obniżenia lokalnej produkcji szkodliwych dla środowiska elektroodpadów w postaci baterii.

Dodatkowo opracowane metody sposobu sterowania przepływem energii w układach połączonych wahadeł magnetycznych, mogą stanowić bazę do przyszłych badań w zakresie tłumienia drgań bądź odzyskiwania energii z drgających struktur składających się z łańcuchów oscylatorów. Wyniki tych badań mogą zostać wdrożone do maszyn bądź urządzeń podczas działania, których generowane są niepożądane drgania. Energię mechaniczną tych drgań można przekierować do innego elementu bądź układu odzyskującego energię tych drgań, co stworzy możliwość jej ponownego użycia. Wiązałoby się to z wprowadzeniem pewnych modyfikacji konstrukcyjnych takich stanowisk (dołożenie cewek elektrycznych i ich zasilania oraz magnesów), ale korzyści z odzyskania energii i wytłumienia niepożądanych drgania na pewno wchodzą w nurt współczesnego przemysłu 4.0.

Artykuły:

Pilipchuk, V. N., Polczyński, K., Bednarek, M., & Awrejcewicz, J. (2022). Guidance of the resonance energy flow in the mechanism of coupled magnetic pendulums. Mechanism and Machine Theory, 176, 105019.

Nana, B., Polczyński, K., Woafo, P., Awrejcewicz, J., & Wasilewski, G. (2024). Analysis of the nonlinear dynamics of a single pendulum driven by a magnetic field using the magnetic charges interaction model and the experimentally fitted interaction model. Mechanical Systems and Signal Processing, 209, 111114.